2008年02月26日
スペクトル密度
スペクトル密度（英: Spectral density）とは、定常過程に関する周波数値の正実数の関数または時間に関する決定的な関数である。パワースペクトル密度（英: Power spectral density）、エネルギースペクトル密度（英: Energy spectral density）とも。単に信号のスペクトルと言ったとき、スペクトル密度を指すこともある。直観的には、スペクトル密度は確率過程の周波数要素を捉えるもので、周期性を識別するのを助ける。
物理学の観点では、信号とは波動であり、電磁波や音波がある。波動のスペクトル密度に適当な係数をかけると、その波動で運ばれる周波数当たりの力になる。このため、それを信号の「パワースペクトル密度」(PSD) あるいは「スペクトルパワー分布」(SPD)などと呼ぶ。パワースペクトル密度の単位はヘルツ当たりのワット (W/Hz) か、ナノメートル当たりのワット (W/nm) で表される（後者は周波数の代わりに波長を用いる）。
信号がどのような物理的次元を伝わるのかは問題ではないが、以下の議論では時間と共に変化する信号について解説する。
エネルギースペクトル密度
エネルギースペクトル密度 (ESD) は、信号や時系列のエネルギーが周波数についてどのように分布するかを示す。f(t) が有限エネルギー信号であるとき、その信号のスペクトル密度 Φ(ω) は、信号をフーリエ変換したときの大きさの二乗である（ここで、エネルギーは信号の二乗を積分したものであり、その信号を電圧として1Ωの負荷に加えたときの物理エネルギーに等しい）。
ここで ω は角周波数（周波数に 2π をかけたもの）であり、F(ω) は f(t) の連続フーリエ変換、F * (ω) はその複素共役である。
信号が離散的で、値が fn で表されるとした場合、無限に続くとするならエネルギースペクトル密度は次のように得られる。
ここで、F(ω) は fn の離散時間フーリエ変換である。
定義された値が有限個しかない場合、本来エネルギースペクトル密度は定義されないが、周期的なものであるとすれば離散フーリエ変換を使って離散スペクトルを作成できるし、値がない部分をゼロで補って、無限の場合と同様に計算可能である。
連続スペクトル密度と離散スペクトル密度は同じ記号で表されることが多いが、それらの次元や単位は異なる。連続の場合、時間の二乗が関わっているが、離散の場合はそうではない。これらを同じ単位にするには、測定間隔を単位時間とすればよい。
いずれにしても 1 / 2π という係数は絶対的なものではなく、フーリエ変換での正規化定数の定義に依存する。
（以上、ウィキペディアより引用）
物理学の話ですね！
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